\section{Symulacje}\label{uogSymulacje}

Przeprowadziliśmy komputerowe symulacje wielu różnych modeli uogólnionej gry
przestrzennej.
Poniżej prezentujemy najciekawsze wyniki.

W początkowym profilu przestrzennym zawsze przypisywaliśmy graczom losowe typy i
preferencje, odpowiadające rozważanym w danej grze charakterom graczy.
Do zmiany strategii wybieraliśmy w każdej turze jednego osobnika (w podejściu
asynchronicznym) bądź wszystkich osobników (w podejściu synchronicznym).
Badaliśmy zachowanie populacji na następujących grafach:
\begin{itemize}
\item graf pełny,
\item graf $C_N$,
\item krata z sąsiedztwem 4,
\item krata z sąsiedztwem 6,
\item krata z sąsiedztwem 8.
\end{itemize}
Rozważyliśmy kilka różnych wartości prawdopodobieństwa $\epsilon$ występowania
losowych mutacji.

W ramach jednej symulacji modeli synchronicznych wykonywaliśmy najpierw
$A = 1500$ tur ewolucji gry, aby stan systemu mógł przybliżyć się do rozkładu
stacjonarnego.
Następnie przeprowadzaliśmy dodatkowe $B = 500$ tur w celu zmierzenia
przybliżonych własności tego rozkładu.
W modelach asynchronicznych przyjmowaliśmy odpowiednio $A=100 \cdot N$ i
$B = 15 \cdot N$, gdzie $N$ to rozmiar rozpatrywanej populacji.

\subsection{Mierzone wartości}

Mierzyliśmy średnią i odchylenie standardowe frakcji graczy o poszczególnych
typach.
Poniżej przedstawiamy szczegółowe definicje.

\begin{df}\label{poziomTypu}
Przez $\rho_n(\tau)$ oznaczamy \emph{poziom graczy typu $\tau$} po $n$--tej
turze, czyli stosunek liczby graczy typu $\tau$ do wszystkich graczy.

\medskip{}

\noindent
Przez $\hat{\rho}(\tau)$ oznaczamy \emph{średni poziom graczy typu $\tau$},
równy
\[ \hat{\rho}(\tau) \; = \; \frac{1}{B} \sum_{n = A + 1}^{A + B} \rho_n(\tau) \]

\medskip{}

\noindent
Przez $\tilde{\rho}(\tau)$ oznaczamy \emph{odchylenie standardowe poziomu graczy typu $\tau$},
równe
\[ \tilde{\rho}(\tau) \; = \; \sqrt{\frac{1}{B} \sum_{n = A + 1}^{A + B} (\rho_n(\tau)- \hat{\rho}(\tau)})^2 \]
\end{df}

\subsection{Wyniki}

\subsubsection{Model I}

\begin{tabular}{ll}
\textbf{Rozważane charaktery graczy:} &
$\tuple{ALLC, \pi_{antiD}}$, $\tuple{ALLD, \pi_{proC}}$ \\
\textbf{Funkcja wyboru wag krawędzi:} & $F^{\psi}_{avg}$ \\
\textbf{Łączna wypłata:} & $\wyplata_{st}$ \\
\multirow{2}{*}{\textbf{Dynamika:}} & Kanoniczny proces Morana, \\
 & tryb asynchroniczny i synchroniczny.
\end{tabular}

\bigskip{}

Poniżej prezentujemy wykresy obrazujące poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych
turach symulacji na poszczególnych grafach i z różnymi wartościami parametru
$\epsilon$.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{pelny_async_400_down.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{pelny_async_400_up.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na grafie pełnym.}
\end{figure}
\end{center}

Jak widać na powyższych rysunkach model ten nie jest stabilny.
Przyjmując uproszczenie, w którym dla wierzchołków $v$ i $w$ typu $ALLD$ zachodzi $\mapaSy(v,w) = 1/2$,
możemy pokazać, że wypłaty graczy są w przybliżeniu równe:
\begin{align*}
\wyplata_{ALLC} &= \rho(ALLC) N \cdot R \cdot 1 + (1-\rho(ALLC)) N \cdot S \cdot \frac{1}{2} = 3\rho(ALLC) N \\
\wyplata_{ALLD} &= \rho(ALLC) N \cdot T \cdot \frac{1}{2} + (1-\rho(ALLC)) N \cdot P \cdot \frac{1}{2} = (2\rho(ALLC) + \frac{1}{2}) N
\end{align*}
gdzie $\rho(ALLC)$ jest poziomem kooperacji.
Dynamika \emph{procesu kanonicznego Morana} promuje osobników o większej
wypłacie, w związku z tym tylko pogłębia różnice wywołane przez mutacje.
W efekcie model jest niestabilny.
\pagebreak
\vspace{-50pt}
\begin{center}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{wykresFunkcji1.pdf}
\end{center}
\caption{Wartości funkcji $3\rho(ALLC)$ oraz $(2\rho(ALLC) + 1/2)$.}
\end{figure}
\end{center}
\vspace{-10pt}

Podobnie jest w przypadku dynamiki synchronicznej. Różnica polega jedynie na
tym, że w pierwszym kroku symulacji, gdy osobniki nie znają swoich sąsiadów,
ginie znaczna liczba graczy typu $ALLC$. W związku z tym
punktem krytycznym jest profil, w którym poziom kooperacji wynosi $75\%$.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{pelny_sync_400_down.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{pelny_sync_400_up.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na grafie pełnym.}
\end{figure}
\end{center}
\vspace{-15pt}

Modele bazujące na innych grafach nie wykazywały podobnych właściwości,
możliwe jednak że liczba wykonywanych kroków symulacji była za mała,
aby uzyskać takie zachowania.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100300_200400_3_2_5_g2.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100300_200400_3_2_6_g2.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na grafie $C_N$.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100300_200400_3_2_5_g4.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100300_200400_3_2_6_g4.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 4.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100300_200400_3_2_5_g6.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100300_200400_3_2_6_g6.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 6.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100300_200400_3_2_5_g8.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100300_200400_3_2_6_g8.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 8.}
\end{figure}
\end{center}

Poniższa tabela zawiera średnią i odchylenie standardowe poziomu graczy typu
$ALLC$ w symulacjach prowadzonych w trybie asynchronicznym.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
 & $\epsilon = 0,\!000$ & $\epsilon = 0,\!001$ &
   $\epsilon = 0,\!004$ & $\epsilon = 0,\!010$ & $\epsilon = 0,\!030$ \\
\hline
\multirow{2}{*}{graf $C_N$} &
$\hat{\rho} = 0\!,173$ & $\hat{\rho} = 0\!,273$ & $\hat{\rho} = 0\!,173$ & $\hat{\rho} = 0\!,184$ & $\hat{\rho} = 0\!,088$\\
 & $\tilde{\rho} = 0\!,003$ & $\tilde{\rho} = 0\!,003$ & $\tilde{\rho} = 0\!,003$ & $\tilde{\rho} = 0\!,010$ & $\tilde{\rho} = 0\!,013$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 4} &
$\hat{\rho} = 0\!,485$ & $\hat{\rho} = 0\!,369$ & $\hat{\rho} = 0\!,492$ & $\hat{\rho} = 0\!,191$ & $\hat{\rho} = 0\!,117$\\
 & $\tilde{\rho} = 0\!,017$ & $\tilde{\rho} = 0\!,004$ & $\tilde{\rho} = 0\!,009$ & $\tilde{\rho} = 0\!,006$ & $\tilde{\rho} = 0\!,011$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 6} &
$\hat{\rho} = 0\!,791$ & $\hat{\rho} = 0\!,673$ & $\hat{\rho} = 0\!,705$ & $\hat{\rho} = 0\!,466$ & $\hat{\rho} = 0\!,215$\\
 & $\tilde{\rho} = 0\!,033$ & $\tilde{\rho} = 0\!,028$ & $\tilde{\rho} = 0\!,021$ & $\tilde{\rho} = 0\!,013$ & $\tilde{\rho} = 0\!,010$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 8} &
$\hat{\rho} = 0\!,841$ & $\hat{\rho} = 0\!,708$ & $\hat{\rho} = 0\!,509$ & $\hat{\rho} = 0\!,389$ & $\hat{\rho} = 0\!,298$\\
 & $\tilde{\rho} = 0\!,031$ & $\tilde{\rho} = 0\!,024$ & $\tilde{\rho} = 0\!,022$ & $\tilde{\rho} = 0\!,019$ & $\tilde{\rho} = 0\!,011$\\
\end{tabular}
\end{center}

Poniższa tabela zawiera średnią i odchylenie standardowe poziomu graczy typu
$ALLC$ w symulacjach prowadzonych w trybie synchronicznym.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
 & $\epsilon = 0,\!000$ & $\epsilon = 0,\!001$ &
   $\epsilon = 0,\!004$ & $\epsilon = 0,\!010$ & $\epsilon = 0,\!030$ \\
\hline
\multirow{2}{*}{graf $C_N$} &
$\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,001$ & $\hat{\rho} = 0,007$ & $\hat{\rho} = 0,028$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,001$ & $\tilde{\rho} = 0,002$ & $\tilde{\rho} = 0,005$ & $\tilde{\rho} = 0,011$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 4} &
$\hat{\rho} = 0,990$ & $\hat{\rho} = 0,955$ & $\hat{\rho} = 0,827$ & $\hat{\rho} = 0,004$ & $\hat{\rho} = 0,018$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,016$ & $\tilde{\rho} = 0,034$ & $\tilde{\rho} = 0,004$ & $\tilde{\rho} = 0,007$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 6} &
$\hat{\rho} = 0,995$ & $\hat{\rho} = 0,981$ & $\hat{\rho} = 0,916$ & $\hat{\rho} = 0,696$ & $\hat{\rho} = 0,021$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,010$ & $\tilde{\rho} = 0,021$ & $\tilde{\rho} = 0,046$ & $\tilde{\rho} = 0,010$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 8} &
$\hat{\rho} = 0,995$ & $\hat{\rho} = 0,984$ & $\hat{\rho} = 0,938$ & $\hat{\rho} = 0,840$ & $\hat{\rho} = 0,020$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,007$ & $\tilde{\rho} = 0,016$ & $\tilde{\rho} = 0,025$ & $\tilde{\rho} = 0,009$\\
\end{tabular}
\end{center}

W grafach $krata z sąsiedztwem 4, 6, 8$ pojawiała się niebanalna zależność pomiędzy $\epsilon$ a $\rho(ALLC)$.
Wraz ze wzrostem prawdopodobieństwa błędu, poziom kooperacji obniżał się, aż do prawie całkowitego jej zaniku.


\subsubsection{Model II}

\begin{tabular}{ll}
\textbf{Rozważane charaktery graczy:} &
$\tuple{ALLC, \pi_{antiD}}$, $\tuple{ALLD, \pi_{proC}}$ \\
\textbf{Funkcja wyboru wag krawędzi:} & $F^{\psi}_{avg}$ \\
\textbf{Łączna wypłata:} & $\wyplata_{st}$ \\
\multirow{2}{*}{\textbf{Dynamika:}} & Kanoniczny proces Morana, Głosowanie, \\
                                    & tryb synchroniczny.
\end{tabular}

\bigskip{}

Poniżej prezentujemy wykresy obrazujące poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych
turach symulacji na poszczególnych grafach i z różnymi wartościami parametru
$\epsilon$.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_6_g1.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_8_g1.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na grafie pełnym.}
\end{figure}
\end{center}

Dynamika \emph{głosowania} na grafie pełnym zachowywała się bardzo podobnie do dynamiki kanonicznego procesu Morana.
Stosując odpowiednie uproszczenia, można dla niej wyprowadzić analogiczne wzory:
\begin{align*}
\wyplata_{ALLC} &= 3\rho(ALLC) N \\
\wyplata_{ALLD} &= (2\rho(ALLC) + \frac{1}{2}) N
\end{align*}
Wtedy łączne wypłaty wszystkich osobników są równe odpowiednio
$\rho(ALLC) N \wyplata_{ALLC}$ oraz $(1-\rho(ALLC)) N \wyplata_{ALLD}$.
Powyższe wzory również prowadzą do układu niestabilnego.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{wykresFunkcji2.pdf}
\end{center}
\caption{Wartości funkcji $3\rho(ALLC)^2$ oraz $(2\rho(ALLC) + \frac{1}{2})(1-\rho(ALLC))$.}
\end{figure}
\end{center}

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_6_g2.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_8_g2.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na grafie $C_N$.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_6_g4.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_8_g4.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 4.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_6_g6.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_8_g6.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 6.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_6_g8.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{2500_100300_200400_3_2_8_g8.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typu $ALLC$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 8.}
\end{figure}
\end{center}

Poniższa tabela zawiera średnią i odchylenie standardowe poziomu graczy typu
$ALLC$ w symulacjach modeli z dynamiką wyznaczoną przez
\emph{Kanoniczny proces Morana}.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
 & $\epsilon = 0,\!000$ & $\epsilon = 0,\!001$ &
   $\epsilon = 0,\!004$ & $\epsilon = 0,\!010$ & $\epsilon = 0,\!030$ \\
\hline
\multirow{2}{*}{graf $C_N$} &
$\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,002$ & $\hat{\rho} = 0,008$ & $\hat{\rho} = 0,026$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,001$ & $\tilde{\rho} = 0,002$ & $\tilde{\rho} = 0,005$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 4} &
$\hat{\rho} = 0,999$ & $\hat{\rho} = 0,959$ & $\hat{\rho} = 0,817$ & $\hat{\rho} = 0,014$ & $\hat{\rho} = 0,021$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,007$ & $\tilde{\rho} = 0,024$ & $\tilde{\rho} = 0,003$ & $\tilde{\rho} = 0,005$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 6} &
$\hat{\rho} = 0,999$ & $\hat{\rho} = 0,981$ & $\hat{\rho} = 0,909$ & $\hat{\rho} = 0,686$ & $\hat{\rho} = 0,022$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,004$ & $\tilde{\rho} = 0,009$ & $\tilde{\rho} = 0,021$ & $\tilde{\rho} = 0,005$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 8} &
$\hat{\rho} = 1,000$ & $\hat{\rho} = 0,985$ & $\hat{\rho} = 0,942$ & $\hat{\rho} = 0,824$ & $\hat{\rho} = 0,022$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,004$ & $\tilde{\rho} = 0,007$ & $\tilde{\rho} = 0,012$ & $\tilde{\rho} = 0,004$\\
\end{tabular}
\end{center}

Poniższa tabela zawiera średnią i odchylenie standardowe poziomu graczy typu
$ALLC$ w symulacjach modeli z dynamiką wyznaczoną przez \emph{Głosowanie}.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
 & $\epsilon = 0,\!000$ & $\epsilon = 0,\!001$ &
   $\epsilon = 0,\!004$ & $\epsilon = 0,\!010$ & $\epsilon = 0,\!030$ \\
\hline
\multirow{2}{*}{graf pełny} &
$\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,000$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,000$\\
\hline
\multirow{2}{*}{graf $C_N$} &
$\hat{\rho} = 0,888$ & $\hat{\rho} = 0,834$ & $\hat{\rho} = 0,535$ & $\hat{\rho} = 0,053$ & $\hat{\rho} = 0,044$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,010$ & $\tilde{\rho} = 0,024$ & $\tilde{\rho} = 0,020$ & $\tilde{\rho} = 0,005$ & $\tilde{\rho} = 0,008$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 4} &
$\hat{\rho} = 0,104$ & $\hat{\rho} = 0,586$ & $\hat{\rho} = 0,708$ & $\hat{\rho} = 0,985$ & $\hat{\rho} = 0,955$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,177$ & $\tilde{\rho} = 0,109$ & $\tilde{\rho} = 0,002$ & $\tilde{\rho} = 0,004$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 6} &
$\hat{\rho} = 0,094$ & $\hat{\rho} = 0,998$ & $\hat{\rho} = 0,994$ & $\hat{\rho} = 0,985$ & $\hat{\rho} = 0,956$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,001$ & $\tilde{\rho} = 0,001$ & $\tilde{\rho} = 0,001$ & $\tilde{\rho} = 0,002$ & $\tilde{\rho} = 0,004$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 8} &
$\hat{\rho} = 0,998$ & $\hat{\rho} = 0,998$ & $\hat{\rho} = 0,994$ & $\hat{\rho} = 0,985$ & $\hat{\rho} = 0,956$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,001$ & $\tilde{\rho} = 0,002$ & $\tilde{\rho} = 0,003$ & $\tilde{\rho} = 0,004$\\
\end{tabular}
\end{center}

W przypadku dynamiki głosowania wzrost prawdopodobieństwa mutacji przyspieszał stabilizację populacji.
Warto zauważyć, że kooperacja pojawiała się tworząc przestrzenne kształty --- zbite grupy
osobników typu $ALLC$ dopasowane do struktury grafu. Potwierdza to wyniki Hauerta i Doebeliego przedstawione w \cite{hd}.
Prawdopodobnie ma to związek, z przedstawianymi wcześniej wzorami na $U_{ALLC}$ i $U_{ALLD}$, jednak
nie udało nam się wykazać konkretnych zależności.

\subsubsection{Model III}

\begin{tabular}{ll}
\textbf{Rozważane charaktery graczy:} &
$\tuple{ALLC, \pi_{wyp}}$, $\tuple{ALLD, \pi_{wyp}}$, $\tuple{TFT, \pi_{wyp}}$\\
\textbf{Funkcja wyboru wag krawędzi:} & $F^{\psi}_{avg}$ \\
\textbf{Łączna wypłata:} & $\wyplata_{st}$ \\
\textbf{Dynamika:} & Kanoniczny proces Morana, tryb synchroniczny.
\end{tabular}

\bigskip{}

Poniżej prezentujemy wykresy obrazujące poziomy graczy typu $ALLC$ oraz $TFT$ po
kolejnych turach symulacji na poszczególnych grafach i z różnymi wartościami
parametru $\epsilon$.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g1koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g1tft.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na grafie pełnym.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g2koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g2koop.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na grafie $C_N$.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g4koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g4tft.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 4.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g6koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g6tft.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 6.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g8koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_6_g8tft.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 8.}
\end{figure}
\end{center}

Poniższa tabela zawiera średnią i odchylenie standardowe poziomu graczy typu
$ALLC$ w symulacjach modeli z dynamiką wyznaczoną przez
\emph{Kanoniczny proces Morana}.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
 & $\epsilon = 0,\!000$ & $\epsilon = 0,\!001$ &
   $\epsilon = 0,\!004$ & $\epsilon = 0,\!010$ & $\epsilon = 0,\!030$ \\
\hline
\multirow{2}{*}{graf pełny} &
$\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,004$ & $\hat{\rho} = 0,020$ & $\hat{\rho} = 0,042$ & $\hat{\rho} = 0,146$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,004$ & $\tilde{\rho} = 0,007$ & $\tilde{\rho} = 0,011$ & $\tilde{\rho} = 0,023$\\
\hline
\multirow{2}{*}{graf $C_N$} &
$\hat{\rho} = 0,001$ & $\hat{\rho} = 0,090$ & $\hat{\rho} = 0,095$ & $\hat{\rho} = 0,075$ & $\hat{\rho} = 0,078$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,003$ & $\tilde{\rho} = 0,028$ & $\tilde{\rho} = 0,021$ & $\tilde{\rho} = 0,013$ & $\tilde{\rho} = 0,019$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 4} &
$\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,089$ & $\hat{\rho} = 0,123$ & $\hat{\rho} = 0,116$ & $\hat{\rho} = 0,117$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,026$ & $\tilde{\rho} = 0,023$ & $\tilde{\rho} = 0,028$ & $\tilde{\rho} = 0,018$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 6} &
$\hat{\rho} = 0,000$ & $\hat{\rho} = 0,119$ & $\hat{\rho} = 0,103$ & $\hat{\rho} = 0,134$ & $\hat{\rho} = 0,128$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,030$ & $\tilde{\rho} = 0,031$ & $\tilde{\rho} = 0,031$ & $\tilde{\rho} = 0,021$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 8} &
$\hat{\rho} = 0,105$ & $\hat{\rho} = 0,105$ & $\hat{\rho} = 0,114$ & $\hat{\rho} = 0,148$ & $\hat{\rho} = 0,148$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,030$ & $\tilde{\rho} = 0,022$ & $\tilde{\rho} = 0,031$ & $\tilde{\rho} = 0,024$ & $\tilde{\rho} = 0,024$\\
\end{tabular}
\end{center}

Poniższa tabela zawiera średnią i odchylenie standardowe poziomu graczy typu
$TFT$ w symulacjach modeli z dynamiką wyznaczoną przez
\emph{Kanoniczny proces Morana}.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
 & $\epsilon = 0,\!000$ & $\epsilon = 0,\!001$ &
   $\epsilon = 0,\!004$ & $\epsilon = 0,\!010$ & $\epsilon = 0,\!030$ \\
\hline
\multirow{2}{*}{graf pełny} &
$\hat{\rho} = 0,957$ & $\hat{\rho} = 0,956$ & $\hat{\rho} = 0,942$ & $\hat{\rho} = 0,904$ & $\hat{\rho} = 0,737$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,013$ & $\tilde{\rho} = 0,012$ & $\tilde{\rho} = 0,015$ & $\tilde{\rho} = 0,026$\\
\hline
\multirow{2}{*}{graf $C_N$} &
$\hat{\rho} = 0,961$ & $\hat{\rho} = 0,833$ & $\hat{\rho} = 0,770$ & $\hat{\rho} = 0,682$ & $\hat{\rho} = 0,442$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,009$ & $\tilde{\rho} = 0,018$ & $\tilde{\rho} = 0,032$ & $\tilde{\rho} = 0,026$ & $\tilde{\rho} = 0,042$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 4} &
$\hat{\rho} = 0,955$ & $\hat{\rho} = 0,855$ & $\hat{\rho} = 0,795$ & $\hat{\rho} = 0,762$ & $\hat{\rho} = 0,623$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,029$ & $\tilde{\rho} = 0,029$ & $\tilde{\rho} = 0,035$ & $\tilde{\rho} = 0,036$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 6} &
$\hat{\rho} = 0,955$ & $\hat{\rho} = 0,830$ & $\hat{\rho} = 0,831$ & $\hat{\rho} = 0,765$ & $\hat{\rho} = 0,640$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,032$ & $\tilde{\rho} = 0,034$ & $\tilde{\rho} = 0,036$ & $\tilde{\rho} = 0,031$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 8} &
$\hat{\rho} = 0,855$ & $\hat{\rho} = 0,851$ & $\hat{\rho} = 0,829$ & $\hat{\rho} = 0,758$ & $\hat{\rho} = 0,648$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,031$ & $\tilde{\rho} = 0,025$ & $\tilde{\rho} = 0,034$ & $\tilde{\rho} = 0,033$ & $\tilde{\rho} = 0,039$\\
\end{tabular}
\end{center}

\subsubsection{Model IV}

\begin{tabular}{ll}
\textbf{Rozważane charaktery graczy:} &
$\tuple{ALLC, \pi_{wyp}}$, $\tuple{ALLD, \pi_{wyp}}$, $\tuple{TFT, \pi_{wyp}}$\\
\textbf{Funkcja wyboru wag krawędzi:} & $F^{\psi}_{avg}$ \\
\textbf{Łączna wypłata:} & $\wyplata_{st}$ \\
\textbf{Dynamika:} & Sprawiedliwy proces Morana, tryb synchroniczny.
\end{tabular}

\bigskip{}

Poniżej prezentujemy wykresy obrazujące poziomy graczy typu $ALLC$ oraz $TFT$ po
kolejnych turach symulacji na poszczególnych grafach i z różnymi wartościami
parametru $\epsilon$.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g1koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g1tft.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na grafie pełnym.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g2koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g2koop.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na grafie $C_N$.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g4koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g4tft.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 4.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g6koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g6tft.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 6.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g8koop.pdf}
&
\includegraphics[scale=0.6]{400_100500_200500_400500_3_2_10_g8tft.pdf}
\end{tabular}
\caption{Poziom graczy typów $ALLC$ i $TFT$ po kolejnych turach symulacji na kracie z sąsiedztwem 8.}
\end{figure}
\end{center}

Poniższa tabela zawiera średnią i odchylenie standardowe poziomu graczy typu
$ALLC$ w symulacjach modeli z dynamiką wyznaczoną przez
\emph{Głosowanie}.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
 & $\epsilon = 0,\!000$ & $\epsilon = 0,\!001$ &
   $\epsilon = 0,\!004$ & $\epsilon = 0,\!010$ & $\epsilon = 0,\!030$ \\
\hline
\multirow{2}{*}{graf pełny} &
$\hat{\rho} = 0,137$ & $\hat{\rho} = 0,205$ & $\hat{\rho} = 0,224$ & $\hat{\rho} = 0,223$ & $\hat{\rho} = 0,213$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,001$ & $\tilde{\rho} = 0,014$ & $\tilde{\rho} = 0,016$ & $\tilde{\rho} = 0,012$ & $\tilde{\rho} = 0,022$\\
\hline
\multirow{2}{*}{graf $C_N$} &
$\hat{\rho} = 0,018$ & $\hat{\rho} = 0,132$ & $\hat{\rho} = 0,118$ & $\hat{\rho} = 0,108$ & $\hat{\rho} = 0,077$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,012$ & $\tilde{\rho} = 0,015$ & $\tilde{\rho} = 0,014$ & $\tilde{\rho} = 0,014$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 4} &
$\hat{\rho} = 0,025$ & $\hat{\rho} = 0,105$ & $\hat{\rho} = 0,131$ & $\hat{\rho} = 0,102$ & $\hat{\rho} = 0,113$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,011$ & $\tilde{\rho} = 0,015$ & $\tilde{\rho} = 0,018$ & $\tilde{\rho} = 0,017$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 6} &
$\hat{\rho} = 0,015$ & $\hat{\rho} = 0,108$ & $\hat{\rho} = 0,134$ & $\hat{\rho} = 0,148$ & $\hat{\rho} = 0,133$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,007$ & $\tilde{\rho} = 0,020$ & $\tilde{\rho} = 0,023$ & $\tilde{\rho} = 0,021$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 8} &
$\hat{\rho} = 0,005$ & $\hat{\rho} = 0,167$ & $\hat{\rho} = 0,177$ & $\hat{\rho} = 0,159$ & $\hat{\rho} = 0,149$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,008$ & $\tilde{\rho} = 0,018$ & $\tilde{\rho} = 0,023$ & $\tilde{\rho} = 0,018$\\
\end{tabular}
\end{center}

Poniższa tabela zawiera średnią i odchylenie standardowe poziomu graczy typu
$TFT$ w symulacjach modeli z dynamiką wyznaczoną przez
\emph{Głosowanie}.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
 & $\epsilon = 0,\!000$ & $\epsilon = 0,\!001$ &
   $\epsilon = 0,\!004$ & $\epsilon = 0,\!010$ & $\epsilon = 0,\!030$ \\
\hline
\multirow{2}{*}{graf pełny} &
$\hat{\rho} = 0,863$ & $\hat{\rho} = 0,791$ & $\hat{\rho} = 0,758$ & $\hat{\rho} = 0,732$ & $\hat{\rho} = 0,645$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,001$ & $\tilde{\rho} = 0,014$ & $\tilde{\rho} = 0,015$ & $\tilde{\rho} = 0,015$ & $\tilde{\rho} = 0,028$\\
\hline
\multirow{2}{*}{graf $C_N$} &
$\hat{\rho} = 0,983$ & $\hat{\rho} = 0,856$ & $\hat{\rho} = 0,821$ & $\hat{\rho} = 0,738$ & $\hat{\rho} = 0,517$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,017$ & $\tilde{\rho} = 0,018$ & $\tilde{\rho} = 0,032$ & $\tilde{\rho} = 0,047$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 4} &
$\hat{\rho} = 0,975$ & $\hat{\rho} = 0,886$ & $\hat{\rho} = 0,832$ & $\hat{\rho} = 0,817$ & $\hat{\rho} = 0,652$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,014$ & $\tilde{\rho} = 0,019$ & $\tilde{\rho} = 0,031$ & $\tilde{\rho} = 0,035$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 6} &
$\hat{\rho} = 0,985$ & $\hat{\rho} = 0,886$ & $\hat{\rho} = 0,841$ & $\hat{\rho} = 0,791$ & $\hat{\rho} = 0,654$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,008$ & $\tilde{\rho} = 0,022$ & $\tilde{\rho} = 0,027$ & $\tilde{\rho} = 0,036$\\
\hline
\multirow{2}{*}{krata z sąsiedztwem 8} &
$\hat{\rho} = 0,995$ & $\hat{\rho} = 0,829$ & $\hat{\rho} = 0,798$ & $\hat{\rho} = 0,780$ & $\hat{\rho} = 0,661$\\
 & $\tilde{\rho} = 0,000$ & $\tilde{\rho} = 0,010$ & $\tilde{\rho} = 0,020$ & $\tilde{\rho} = 0,022$ & $\tilde{\rho} = 0,032$\\
\end{tabular}
\end{center}

Dominacja osobników typu $TFT$ potwierdza skuteczność taktyki ,,wet za wet'', jednak zmonopolizowane populacje 
okazały się nieciekawe do analizy.

\subsubsection{Inne modele}

Warto zwrócić uwagę na fakt, że jedynie dynamiki \emph{procesu Morana}
oraz \emph{głosowania} prowadziły do kooperacji. Wprowadzona
dynamika \emph{sprawiedliwego procesu Morana} nie sprawdziła się
dla osobników innych niż $TFT$. Tym niemniej nie wiadomo, jak
zachowuje się ona na innych, bardziej skomplikowanych grafach. 
